Auteur : Eric Hehner

J'adore quand différentes parties des mathématiques sont réunies dans une seule perspective. Dans cette vidéo, Eric Ehmer jette un regard neuf sur des opérateurs logiques simples tels que « et », « ou » et l'implication. Nous étendons ces opérateurs aux nombres et nous les interprétons en termes d'ordre. Saviez-vous que l'implication logique se résume en fait à « inférieur ou égal à » ?

(video Youtube, en anglais, cliquez ici)

Cette vidéo présente quelques idées dues à Eric Hehner, de l'université de Toronto.

Dans le langage des ensembles partiellement ordonnés, "top" est plus grand que tout autre élément, et "bottom" est plus petit que tout autre élément.

Ces deux symboles peuvent être reliés par des opérateurs.

Le premier est "AND" : (). Il n'est vrai () que si les deux opérateurs sont également vrais : , mais par exemple .

Mais on peut aussi considérer et comme deux valeurs. Et donc . Ainsi est la plus grande de toutes les valeurs possibles et est la plus petite. Donc l'opération "AND" est aussi le minimum. (Que l'on note aussi en arithmétique classique)

Un autre opérateur classique est "OR". (). sa valeur est , sauf si les deux arguments sont : donc . Cet opérateur est aussi le maximum. (Que l'on note aussi en arithmétique classique)

Les deux symboles et sont symétriques par rapport ) un axe horizontal (car ils sont chacun l'opposé de l'autre) mais aussi par rapport à un axe vertical, car ces deux opérations sont commutatives.

L'implication est aussi un opérateur classique. Si le premier terme est vrai , le second doit être vrai aussi. Mais si le premier terme est , l'implication reste vraie quel que soit le second terme. Donc est vraie, même si cela parait confus. Ainsi, si 2+2=5, alors je suis le pape est une implication vraie...

Mais si nous considérons comme c'est à dire "plus petit ou égal à", alors tout devient clair. Après tout, !

Ainsi .
Mais on peut aussi dire que , c'est à dire que la condition est plus stricte que la condition , et que donc est "moins vraie" que , parce qu'il y a moins de valeurs de qui la satisfont. Et donc on peut ordonner les expressions logiques :
La flèche signifie "est moins vraie que" ou "est plus stricte que".

Quand une expression vaut on dit que c'est un théorème.

Certaines expressions sont vraies quels que soient les variables (ou arguments) qui figurent dedans. On les appelle des lois. Par exemple , qui est la "loi du tiers exclu". Quelles que soient les valeurs binaires de , l'expression " ou non " est toujours vraie.

En informatique, on associe souvent à 1 et à 0.
Mais en fait, puisque est plus grand que toute autre valeur logique, il est plus logique (sic) de considérer et symétriquement

De ce fait, la logique s'inclut très naturellement dans l'arithmétique. Cela donne lieu à quantité de trouvailles géniales.

Par exemple, prenons les deux nombres 4 et 6. Prenons leur maximum : . Maintenant, changeons leurs signe et prenons le minimum des deux nombres obtenus :

En généralisant on obtient une loi :

Si nous remplaçons comme précédemment par et par , et inteprétons la négation comme "NON", nous obtenons les fameuses lois de de Morgan :
Absence de pluie et neige simultanées = il n'y a pas de pluie ou pas de neige.

La même loi s'applique aussi bien aux valeurs de vérité binaires qu'aux nombres ! Et il en est de même de quantité d'autres lois.
Mais il y a des différences...

Il y a des lois de la logique qui ne s'appliquent pas à l'arithmétique.
Par exemple la loi du tiers exclu :
Si est un nombre, cette formule nous donne en fait
or la valeur absolue de n'est ni "vrai", ni , ni . Donc cette loi n'en n'est plus une dans notre système étendu. C'est assez commun en mathématiques, lorsqu'on considère une extension d'un ensemble (comme quand on passe de à ou ), on gagne des propriétés mais on en perd d'autres.

Classiquement on note les fonctions comme ceci :
La valeur n'a de sens que dans le corps de la fonction, et son domaine de validité doit être précisé autre part. Hehner rend cela plus explicite avec la notation suivante :
La valeur n'existe que à l'intérieur des crochets anguleux. Cette notation semble excessive ou superflue. Mais elle nous en dit davantage que la notation usuelle car elle précise le domaine de la variable : les nombres naturels.

Et de plus elle marche aussi pour d'autres symboles mathématiques qui introduisent de nouvelles variables locales.

Par exemple les sommes :
La variable est locale à la somme. Hehner introduit alors la notation suivante :
L'avantage est qu'il n'est plus nécessaire de créer le nouveau symbole ! On peut utiliser n'importe quel opérateur binaire.

Par exemple pour le produit :
Cela s'écrira :
De même on peut prendre le minimum ou le maximum d'une liste :

Si la valeur d'une fonction logique est binaire (vraie ou faux), alors on peut utiliser les connecteurs logiques usuels AND et OR :
Or, la première expression peut se reformuler ainsi :
Et la seconde :

Une fois encore, il n'a pas été nécessaire d'introduire de nouveaux symboles (quel que soit) et (il existe).

Finalement il n'y a aucune différence entre le minimum , le ET et le quantificateur universel . Le ne fait qu'introduire une connecteur entre les elements de l'ensemble. La notation de Hehner rend cela beaucoup plus clair.